Я косил от армии, пропустил несколько призывов. Смогу ли я служить?

Само по себе - законодательством это не запрещено. Просто явно затруднительно будет пройти все процедуры, осуществляемые при приеме на службу.

Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 07.03.2018, с изм. от 17.04.2018) "О воинской обязанности и военной службе"

Статья 33. Требования, предъявляемые к гражданам (иностранным гражданам), поступающим на военную службу по контракту

1. Гражданин (иностранный гражданин), поступающий на военную службу по контракту, должен владеть государственным языком Российской Федерации, а также соответствовать медицинским и профессионально-психологическим требованиям военной службы к конкретным военно-учетным специальностям. Для определения соответствия гражданина установленным требованиям проводятся медицинское освидетельствование и мероприятия по профессиональному психологическому отбору.

2. Медицинское освидетельствование граждан (иностранных граждан) проводится в соответствии с Положением о военно-врачебной экспертизе. По результатам медицинского освидетельствования дается заключение о годности гражданина (иностранного гражданина) к военной службе в соответствии с пунктом 2 статьи 5.1 настоящего Федерального закона. На военную службу по контракту может быть принят гражданин (иностранный гражданин), признанный годным к военной службе или годным к военной службе с незначительными ограничениями.

3. Профессиональный психологический отбор граждан (иностранных граждан) при поступлении на военную службу по контракту проводится в соответствии со статьей 5.2 настоящего Федерального закона.

4. Гражданин (иностранный гражданин), поступающий на военную службу по контракту, кроме требований, указанных в пункте 1 настоящей статьи, также должен соответствовать требованиям по уровню:

образования;

квалификации;

физической подготовки.

5. Требования, предусмотренные пунктами 3 и 4 настоящей статьи, устанавливаются министром обороны Российской Федерации либо руководителем иного федерального органа исполнительной власти или федерального государственного органа, в которых настоящим Федеральным законом предусмотрена военная служба.