Могу ли я понудить её каким-то образом использовать мат. капитал на покупку совместной квартиры?

С точки зрения закона вы в браке не состоите и эта женщина Вам не жена. Поэтому никаких прав в отношении ее имущества и тем более мат.капитала у Вас нет. Если не хочет ее право.

Алексей! Право на дополнительные меры государственной поддержки (материнский капитал) получают женщины, родившие второго ребенка. (Потому и называется этот капитал- материнским).

Лица, получившие сертификат, могут распоряжаться средствами материнского (семейного) капитала в полном объеме либо по частям по следующим направлениям:

1) улучшение жилищных условий;

2) получение образования ребенком (детьми);

3) формирование накопительной части трудовой пенсии для женщин, перечисленных в пунктах 1 и 2 части 1 статьи 3 настоящего Федерального закона.

4. Распоряжение средствами материнского (семейного) капитала может осуществляться лицами, получившими сертификат, одновременно по нескольким направлениям, установленным настоящим Федеральным законом.

(ст. 7, Федеральный закон от 29.12.2006 N 256-ФЗ (ред. от 01.07.2011) "О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей"

Поэтому заставить мать, получившую материнский капитал, потратить его на покупку квартиры или еще чего нибудь, Вы не сможете. А доли в квартире могут распределяться на всех членов семьи.