Право матери назначить бабушку опекуном 10-летнего ребенка без согласия отца

Опекун назначается органами опеки, а не родителями ребенка. В вашем случае непонятно, на каких основаниях должен быть назначен опекун, если живы и здоровы оба родителя.

Совершенно неправильная постановка вопроса Мать ребенка не обладает полномочиями по назначению своему ребенку опекуна Согласно статье 8 данного закона вопрос по опекуну решает орган опеки

Федеральный закон "Об опеке и попечительстве" от 24.04.2008 N 48-ФЗ (последняя редакция)

Статья 8. Полномочия органов опеки и попечительства

1. К полномочиям органов опеки и попечительства относятся:

1) выявление и учет граждан, нуждающихся в установлении над ними опеки или попечительства;

2) обращение в суд с заявлением о признании гражданина недееспособным или об ограничении его дееспособности, а также о признании подопечного дееспособным, если отпали основания, в силу которых гражданин был признан недееспособным или был ограничен в дееспособности;

3) установление опеки или попечительства;

4) осуществление надзора за деятельностью опекунов и попечителей, деятельностью организаций, в которые помещены недееспособные или не полностью дееспособные граждане;

5) освобождение и отстранение в соответствии с настоящим Федеральным законом опекунов и попечителей от исполнения ими своих обязанностей;

6) выдача в соответствии с настоящим Федеральным законом разрешений на совершение сделок с имуществом подопечных;

7) заключение договоров доверительного управления имуществом подопечных в соответствии со статьей 38 Гражданского кодекса Российской Федерации;

8) представление законных интересов несовершеннолетних граждан и недееспособных граждан, находящихся под опекой или попечительством, в отношениях с любыми лицами (в том числе в судах), если действия опекунов или попечителей по представлению законных интересов подопечных противоречат законодательству Российской Федерации и (или) законодательству субъектов Российской Федерации или интересам подопечных либо если опекуны или попечители не осуществляют защиту законных интересов подопечных;

9) выдача разрешения на раздельное проживание попечителей и их несовершеннолетних подопечных в соответствии со статьей 36 Гражданского кодекса Российской Федерации;

10) подбор, учет и подготовка в порядке, определяемом Правительством Российской Федерации, граждан, выразивших желание стать опекунами или попечителями либо принять детей, оставшихся без попечения родителей, в семью на воспитание в иных установленных семейным законодательством формах;

11) проверка условий жизни подопечных, соблюдения опекунами и попечителями прав и законных интересов подопечных, обеспечения сохранности их имущества, а также исполнения опекунами и попечителями требований к осуществлению ими прав и исполнению обязанностей опекунов или попечителей, определяемых в соответствии с частью 4 статьи 15 настоящего Федерального закона;

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 167-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

12) информирование граждан, выразивших желание стать опекунами или попечителями либо принять ребенка, оставшегося без попечения родителей, на воспитание в семью в иных установленных семейным законодательством формах, о возможных формах устройства ребенка в семью, об особенностях отдельных форм устройства ребенка в семью, о порядке подготовки документов, необходимых для установления опеки или попечительства либо устройства детей, оставшихся без попечения родителей, на воспитание в семью в иных установленных семейным законодательством формах, а также оказание содействия в подготовке таких документов;

(п. 12 введен Федеральным законом от 02.07.2013 N 167-ФЗ)

13) оказание помощи опекунам и попечителям несовершеннолетних граждан в реализации и защите прав подопечных.

(п. 13 введен Федеральным законом от 02.07.2013 N 167-ФЗ)

2. Федеральными законами и законами субъектов Российской Федерации могут быть предусмотрены иные полномочия органов опеки и попечительства наряду с указанными в части 1 настоящей статьи полномочиями.

3. По вопросам, возникающим в связи с установлением, осуществлением и прекращением опеки или попечительства, органы опеки и попечительства издают акты. Указанные акты могут быть оспорены заинтересованными лицами в судебном порядке.