Возможна ли компенсация в виде денежных выплат матери, если отец отказался от детей при разводе из-за невозможности выплаты алиментов по причине здоровья?

Неля!

"Отказ от детей" не предполагает прекращение алиментных обязательств.

Семейный кодекс РФ определяет:

Статья 120. Прекращение алиментных обязательств

1. Алиментные обязательства, установленные соглашением об уплате алиментов, прекращаются смертью одной из сторон, истечением срока действия этого соглашения или по основаниям, предусмотренным этим соглашением.

2. Выплата алиментов, взыскиваемых в судебном порядке, прекращается:

по достижении ребенком совершеннолетия или в случае приобретения несовершеннолетними детьми полной дееспособности до достижения ими совершеннолетия;

при усыновлении (удочерении) ребенка, на содержание которого взыскивались алименты;

...

смертью лица, получающего алименты, или лица, обязанного уплачивать алименты."

Освобождение от уплаты алиментов производится в соответствии со ст. 119 СК РФ:

Статья 119. Изменение установленного судом размера алиментов и освобождение от уплаты алиментов

1. Если при отсутствии соглашения об уплате алиментов после установления в судебном порядке размера алиментов изменилось материальное или семейное положение одной из сторон, суд вправе по требованию любой из сторон изменить установленный размер алиментов или освободить лицо, обязанное уплачивать алименты, от их уплаты. При изменении размера алиментов или при освобождении от их уплаты суд вправе учесть также иной заслуживающий внимания интерес сторон."

Очень интересно, каким образом отец оформил отказ от детей? Законом такая процедура не предусмотрена.

Если отец был лишен родительских прав по решению суда, то от обязанности по содержанию детей это его не освобождает.