Зарегистрировать отцовство - может ли случайный отец претендовать на это, если не было совместного проживания и мать ребёнка против?

В данном случае это возможно только в судебном порядке, если Вы возражаете.

Порядке

В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.

Имеет полное право, и это право связано только с фактом его биологического отцовства в отношении ребенка, а не с фактом наличия/отсутствия совместного проживания матери и отца ребенка. Равно как и факт случайной связи в данной ситуации не имеет правового значения. Если мать ребенка против, отец ребенка просто обратится в районный суд с иском об установлении отцовства. Не исключено, что суд своим определением назначит молекулярно-генетическую экспертизу, заключение которой будет положено в основу судебного решения, с взысканием с ответчицы понесенных судебных расходов (на оплату государственной пошлины, на оплату экспертизы, на оплату адвоката и т.д.).