Отказ в регистрации и неправильная дата вылета - как доказать правоту после сбоя в системе авиакомпании?

В июне летали компанией из 3 х человек в Европу. При регистрации из Барселоны в Москву двое получили посадочные без проблем, а третьему было отказано в регистрации, т.к. служащие не обнаружили вообще такого билета - ни по номеру брони, ни по паспорту в базе у них не было этого билета. В результате человек остался в аэропорту Барселоны более чем на сутки - пока мы долетели, пока разбирались, пока купили ей новый билет. По телефону представитель авиакомпании сказала, что в этом билете была изменена дата вылета, но мы ее не меняли. В тот момент авиакомпания была готова отправить пассажирку своим следующим рейсом, но поскольку он был только через два дня, мы отказались и купили билет сторонней авиакомпании, гораздо дороже.

Через несколько дней мне позвонили из авиакомпании и подтвердили, что у них был сбой, каким-то образом образовалась эта неправильная дата, это их вина и нам вернут деньги за билет. Но это был разговор по телефону, я его документально подтвердить не могу. Деньги вернули. Но, поскольку второй билет был в два раза дороже, мы хотели возмещения разницы в цене. Написали и отправили претензию, в которой подробно изложили ситуацию, приложили выписку телефонных переговоров (просто факты звонков), другие документы, изложили требования.

Компания прислала ответ: в двух словах - билет был нормальный, а пассажир просто сам не пришел на регистрацию и не полетел, поэтому никакие компенсации ему не положены.

Каким образом мы теперь можем доказать свою правоту? У нас кроме смс-переписки между собой нет ничего. Помогли бы аудиозаписи телефонных разговоров, но компания их вряд ли предоставит суду во вред себе, а МТС предоставит только по запросу правоохранительных органов, и то не факт, что они до сих пор у них хранятся. Есть ли у нас шансы выиграть дело, стоит ли затевать тяжбу?

С уважением, Елена.