Необходимость отработки 14 дней после больничного и возможность увольнения при длительном уходе за ребенком

Работник имеет право уволиться по собственному желанию, предупредив работодателя письменно за две недели. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении. (ст. 80 ТК РФ)

Вам надо было сразу вместе с заявлением на отпуск просить "с последующим увольнением".

Есть ещё и продолжение у этой статьи - По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Так что - просите уволить Вас 6 января, в день выхода из отпуска. Приложите справку о необходимости ухода за ребенком. Считаю, что это - достаточное основание для немедленного расторжения трудового договора. В крайнем случае - пишите заявление об увольнении и либо берите отпуск без содержания, либо - уходите на больничный. Не думаю, что взять больничный - большая проблема.

Всего доброго.