Могут ли внуки наследовать квартиру оставшуюся от деда, при лишении матери родительских прав, если она напишет отказ в пользу внуков?

Нет, так как они не являются наследниками в данном случае, при живой матери.

Могут.

«Семейный кодекс Российской Федерации» от 29.12.1995 N 223-ФЗ (ред. от 30.12.2015) СК РФ,

Статья 71. Последствия лишения родительских прав

1. Родители, лишенные родительских прав, теряют все права, основанные на факте родства с ребенком, в отношении которого они были лишены родительских прав...

4. РЕБЁНОК, в отношении которого родители (один из них) лишены родительских прав, сохраняет право собственности на жилое помещение или право пользования жилым помещением, а также СОХРАНЯЕТ ИМУЩЕСТВЕННЫЕ ПРАВА, основанные на факте родства с родителями и другими родственниками, в том числе право НА ПОЛУЧЕНИЕ НАСЛЕДСТВА.

Гражданский кодекс РФ

Статья 1158. Отказ от наследства в пользу других лиц и отказ от части наследства

1. Наследник вправе отказаться от наследства в пользу других лиц из числа наследников по завещанию или наследников по закону любой очереди независимо от призвания к наследованию, не лишенных наследства.

Таким образом, мать, лишённая родительских прав в отношении своих детей, может отказаться от наследования имущества наследодателя (деда) в пользу детей на основании указанных норм Семейного и Гражданского права.

А если мать не падает права на наследство могу ли я без неё падать права на наследство и вступить в наследство без ее отказа.