Можно ли оставить ребенка повторно в первом классе без ведома родителей?

Здравствуйте, нет, не имеют право, оставить на второй год могут лишь с согласия родителей.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 01.05.2019) "Об образовании в Российской Федерации"

Статья 58. Промежуточная аттестация обучающихся

9. Обучающиеся в образовательной организации по образовательным программам начального общего, основного общего и среднего общего образования, не ликвидировавшие в установленные сроки академической задолженности с момента ее образования, по усмотрению их родителей (законных представителей) оставляются на повторное обучение, переводятся на обучение по адаптированным образовательным программам в соответствии с рекомендациями психолого-медико-педагогической комиссии либо на обучение по индивидуальному учебному плану.

Без согласия, а тем более без ведома родителей нельзя!

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 01.05.2019) "Об образовании в Российской Федерации".

Статья 58. Промежуточная аттестация обучающихся.

9. Обучающиеся в образовательной организации по образовательным программам начального общего, основного общего и среднего общего образования, не ликвидировавшие в установленные сроки академической задолженности с момента ее образования, по усмотрению их родителей (законных представителей) оставляются на повторное обучение, переводятся на обучение по адаптированным образовательным программам в соответствии с рекомендациями психолого-медико-педагогической комиссии либо на обучение по индивидуальному учебному плану.