А заявление о продлении срока апелляции подавать в суд где было рассмотрено дело или уже в вышестоящую инстанцию?

Ходатайство - на имя районного, а жалобу - на имя городского.

Апелляционная жалоба подается вместе (одновременно) с апелляционной жалобой, через суд, вынесший решений.

Да, одновременно. Можете даже это ходатайство указать в тексте апелляционной жалобы. Но обязательно с указанием уважительных причин, по которым был пропущен срок апелляционного обжалования. В случае отсутствия у вас вышеназванных причин, суд не восстановит вам срок апелляционного обжалования.

Опечатка. Апелляционная жалоба подается вместе (одновременно) с ходатайством, через суд, вынесший решений.

Апелляционные жалоба, представление подаются через суд, принявший решение

Иначе говоря в шапке вы пишите наименование апелляционной инстанции и рядом через суд принявший решение (например: В ВС

через (наименование районного суда) , и направляете апелляционную жалобу в суд вынесший решение)

"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 27.12.2018) (с изм. и доп., вступ. В силу с 28.12.2018)

ГПК РФ Статья 321. Порядок и срок подачи апелляционных жалобы, представления

(в ред. Федерального закона от 09.12.2010 N 353-ФЗ)

Апелляционные жалобы, представления рассматриваются: районным судом - на решения мировых судей; областным судом, судом города федерального значения, - на решения районных судов.

Апелляционная жалоба подается через суд, принявший решение. Апелляционная жалоба может быть подана в течение месяца со дня принятия решения суда в окончательной форме, если иные сроки не установлены ГПК.

(ст. ст. 320-321 ГПК)

Основаниями для отмены или изменения решения суда являются: неправильное определение обстоятельств, имеющих значение для дела; недоказанность установленных судом первой инстанции обстоятельств, имеющих значение для дела; несоответствие выводов суда первой инстанции, изложенных в решении суда, обстоятельствам дела; нарушение или неправильное применение норм материального права или норм процессуального права. Правильное по существу решение суда первой инстанции не может быть отменено по одним только формальным соображениям. (ст. 330 ГПК)