Обязаны ли в полиции регистрировать в КУСП заявление о найденном предмете?

Да.

Согласно Приказу МВД РФ от 4 мая 2010 г. N 333 "Об утверждении Инструкции о порядке приема, регистрации и разрешения в органах внутренних дел Российской Федерации заявлений, сообщений и иной информации о происшествиях"

16. В КУСП регистрируются: письменное заявление о преступлении; протокол принятия устного заявления о преступлении; протокол явки с повинной; заявление о безвестном исчезновении человека; рапорт сотрудника органа внутренних дел об обнаружении признаков преступления; поручение прокурора о проведении проверки по сообщению о преступлении, распространенному в средствах массовой информации; сообщение и письменное заявление, в том числе Интернет-сообщения о событиях, угрожающих личной или общественной безопасности, в том числе о несчастных случаях, ДТП, авариях, катастрофах, чрезвычайных происшествиях, массовых беспорядках, массовых отравлениях людей, стихийных бедствиях и иных событиях, требующих проверки для обнаружения возможных признаков преступления или административного правонарушения; иная информация о происшествии, А ТАКЖЕ письменные обращения (предложения, жалобы, заявления), представленные в дежурную часть органа внутренних дел непосредственно автором (или лицом, представляющим его интересы).

Приказ МВД 333 отменен насколько я знаю.