Как быть, если сотрудник написал заявление на увольнение такого содержание; Прошу уволить меня по собственному желанию.

уточните фактически какого числа работодателем было получено заявление работника

Уважаемая Мария !

Если этот работник передал это заявление не под расписку на 2-м экз. заявления от 19 марта 2012, то в данном случае нет ничего опасного, так как работник не сможет доказать, когда он передавал секретарю заявление.

Но если он под роспись передавал заявление 19 марта 2012 г. секретарю, то он в этом случае 02 апреля 2012 г. должен был отработать последний день и 03 апреля не выходить на работу.

Он работает еще ? Если да, то совсем не страшно, почитайте часть 5 и 6 статьи 80 Трудового кодекса РФ, дале ТК, где сказано:

По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.

Если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается

Так что ориентируйтесь в данном случае согласно статьи 80 ТК на расторжение

трудового договора с этим работником на 16 апреля 2012 г. (две недели начианют течь в этом случае с 3 апреля по 16 апреля).

Удачи Вам.