Могу ли я сейчас написать ходатайство о снятии предыдущей судимости, а далее и о снятии рецидива?

Можете. Но удовлетворено оно не будет, т.к. факт совершения Вами нового преступления, по которому проводится расследование в установленном порядке, не свидетельствует о том, что Вы встали на путь исправления. Скорее, об обратном.

"срок течения судимости не останавливается при совершении нового преступления?"

Здравствуйте, Петр! Срок прежней судимости истечет через три месяца. Срок погашения новой судимости определите, исходя из ст. 86 УК РФ:

1. Лицо, осужденное за совершение преступления, считается судимым со дня вступления обвинительного приговора суда в законную силу до момента погашения или снятия судимости. Судимость в соответствии с настоящим Кодексом учитывается при рецидиве преступлений, назначении наказания и влечет за собой иные правовые последствия в случаях и в порядке, которые установлены федеральными законами.

2. Лицо, освобожденное от наказания, считается несудимым.

3. Судимость погашается:

а) в отношении лиц, условно осужденных, - по истечении испытательного срока;

б) в отношении лиц, осужденных к более мягким видам наказаний, чем лишение свободы, - по истечении одного года после отбытия или исполнения наказания;

в) в отношении лиц, осужденных к лишению свободы за преступления небольшой или средней тяжести, - по истечении трех лет после отбытия наказания;

г) в отношении лиц, осужденных к лишению свободы за тяжкие преступления, - по истечении шести лет после отбытия наказания;

д) в отношении лиц, осужденных за особо тяжкие преступления, - по истечении восьми лет после отбытия наказания.

4. Если осужденный в установленном законом порядке был досрочно освобожден от отбывания наказания или неотбытая часть наказания была заменена более мягким видом наказания, то срок погашения судимости исчисляется исходя из фактически отбытого срока наказания с момента освобождения от отбывания основного и дополнительного видов наказаний.

5. Если осужденный после отбытия наказания вел себя безупречно, то по его ходатайству суд может снять с него судимость до истечения срока погашения судимости.

6. Погашение или снятие судимости аннулирует все правовые последствия, связанные с судимостью.