В случае смерти обоих родителей может ли стать опекуном родная бабушка, которая проживает на съемной квартире?

Да, сможет, если она соответствует требованиям, предъявляемым к опекунам:

СК РФ Статья 146. Опекуны (попечители) детей

1. Опекунами (попечителями) детей могут назначаться только совершеннолетние дееспособные лица. Не могут быть назначены опекунами (попечителями):

лица, лишенные родительских прав;

лица, имеющие или имевшие судимость, подвергающиеся или подвергавшиеся уголовному преследованию (за исключением лиц, уголовное преследование в отношении которых прекращено по реабилитирующим основаниям) за преступления против жизни и здоровья, свободы, чести и достоинства личности (за исключением незаконного помещения в психиатрический стационар, клеветы и оскорбления), половой неприкосновенности и половой свободы личности, против семьи и несовершеннолетних, здоровья населения и общественной нравственности, а также против общественной безопасности, мира и безопасности человечества;

(в ред. Федерального закона от 13.07.2015 N 237-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

лица, имеющие неснятую или непогашенную судимость за тяжкие или особо тяжкие преступления;

лица, не прошедшие подготовки в порядке, установленном пунктом 6 статьи 127 настоящего Кодекса (кроме близких родственников детей, а также лиц, которые являются или являлись усыновителями и в отношении которых усыновление не было отменено, и лиц, которые являются или являлись опекунами (попечителями) детей и которые не были отстранены от исполнения возложенных на них обязанностей);

(абзац введен Федеральным законом от 30.11.2011 N 351-ФЗ, в ред. Федеральных законов от 02.07.2013 N 167-ФЗ, от 20.04.2015 N 101-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

лица, состоящие в союзе, заключенном между лицами одного пола, признанном браком и зарегистрированном в соответствии с законодательством государства, в котором такой брак разрешен, а также лица, являющиеся гражданами указанного государства и не состоящие в браке.

(абзац введен Федеральным законом от 02.07.2013 N 167-ФЗ)

(п. 1 в ред. Федерального закона от 23.12.2010 N 386-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2. При назначении ребенку опекуна (попечителя) учитываются нравственные и иные личные качества опекуна (попечителя), способность его к выполнению обязанностей опекуна (попечителя), отношения между опекуном (попечителем) и ребенком, отношение к ребенку членов семьи опекуна (попечителя), а также, если это возможно, желание самого ребенка.

3. Не назначаются опекунами (попечителями) лица, больные хроническим алкоголизмом или наркоманией, лица, отстраненные от выполнения обязанностей опекунов (попечителей), лица, ограниченные в родительских правах, бывшие усыновители, если усыновление отменено по их вине, а также лица, страдающие заболеваниями, при наличии которых лицо не может принять ребенка под опеку, попечительство, взять его в приемную или патронатную семью (пункт 1 статьи 127 настоящего Кодекса). Медицинское освидетельствование лиц, желающих взять под опеку (попечительство), в приемную или патронатную семью детей, оставшихся без попечения родителей, проводится в рамках программы государственных гарантий бесплатного оказания гражданам медицинской помощи в порядке, установленном уполномоченным Правительством Российской Федерации федеральным органом исполнительной власти.