Можно ли претендовать на прописку ребенка в квартире должнику, не выплачивающему алименты, или на долю в квартире через суд?

Вы можете обратиться в суд и иском об обращении взыскания на имущество (в Вашем случае квартира) должника. Согласно ст. 112 Семейного кодекса РФ взыскание алиментов в размере, установленном соглашением об уплате алиментов или решением суда, а также взыскание задолженности по алиментам производится из заработка и (или) иного дохода лица, обязанного уплачивать алименты; при недостаточности заработка и (или) иного дохода алименты удерживаются из находящихся на счетах в банках или в иных кредитных учреждениях денежных средств лица, обязанного уплачивать алименты, а также из денежных средств, переданных по договорам коммерческим и некоммерческим организациям, кроме договоров, влекущих переход права собственности. При недостаточности этих средств взыскание обращается на любое имущество лица, обязанного уплачивать алименты, на которое по закону может быть обращено взыскание.

Было бы здорово, если бы это было так, как написала Ирина Юрьевна, но в подавляющем большинстве случаев фраза "на любое имущество лица, обязанного уплачивать алименты, на которое по закону может быть обращено взыскание. (с)" означает, что как раз на квартиру обратить взыскание и нельзя в силу ст. 79 "об исполнительном производстве", ст. 446 ГПК РФ. Требование о "прописке" за долги так же не основано на законе. А потому ждет Вас, как и всех, стандартная процедура: ознакомление с исполнительным производством, изучение того, что сделал и делает пристав, ходатайства о проведении исполнительных действиях, которые еще не сделаны, требования о привлечении к уголовной ответственности, общение с его знакомыми, что бы узнать о имуществе и о доходах, и т.д.