Что произойдет, если не указать отца в свидетельстве о рождении ребенка?

Не сможет. Пока не установит отцовство.

Биологический отец ребенка как истец теоретически имеет право как все граждане нашей страны, уплатив госпошлину, подать в суд иск об установлении отцовства в отношении ребенка, направив до этого Вам копию иска заказной почтой.

Если Вы как ответчик будете возражать против иска, то суд предложит истцу провести экспертизу, которую истцу надо будет предварительно оплатить (около 20 тыс. руб.).

Просто так отец ребенка не может забрать ребенка у его матери.

"Семейный кодекс Российской Федерации" от 29.12.1995 N 223-ФЗ (ред. от 06.02.2020)

СК РФ Статья 69. Лишение родительских прав

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, образовательной организации, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.