Нужно ли отправлять ценным письмом судебный иск ответчику, уже отправив предсудебную претензию?

Виталий, копию иска обязательно нужно направить ответчику. Сделать это можно заказным письмом с описью вложения и уведомлением о вручении.

Закон говорит:

"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 08.12.2020, с изм. от 02.03.2021)

ГПК РФ Статья 132. Документы, прилагаемые к исковому заявлению

К исковому заявлению прилагаются:

... уведомление о вручении или иные документы, подтверждающие направление другим лицам, участвующим в деле, копий искового заявления и приложенных к нему документов, которые у других лиц, участвующих в деле, отсутствуют, в том числе в случае подачи в суд искового заявления и приложенных к нему документов посредством заполнения формы, размещенной на официальном сайте соответствующего суда в информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"

Да, это необходимо делать обязательно. Ст. 132 ГПК

6) уведомление о вручении или иные документы, подтверждающие направление другим лицам, участвующим в деле, копий искового заявления и приложенных к нему документов, которые у других лиц, участвующих в деле, отсутствуют, в том числе в случае подачи в суд искового заявления и приложенных к нему документов посредством заполнения формы, размещенной на официальном сайте соответствующего суда в информационно-телекоммуникационной сети "Интернет";

Сначала экземпляр иска с уведомлением ценным письмом направляется ответчику, а потом такой же экземпляр с чеком отправления ответчику в суд.