Такая ситуация может ли мать написать доверенность на опеку сына кода отец не лишён родительский прав.

Доверенностей на опеку ребёнка не бывает. Если ребёнок лишён родительского попечения, то над ребёнком устанавливается опека/попечительство. Если родители ребёнком занимаются, то именно на них возложена обязанность защищать его права. Родители могут только написать согласие на усыновление ребёнка.

Статья 130 СК РФ. Усыновление ребенка без согласия родителей

Не требуется согласие родителей ребенка на его усыновление в случаях, если они:

неизвестны или признаны судом безвестно отсутствующими;

признаны судом недееспособными;

лишены судом родительских прав (при соблюдении требований пункта 6 статьи 71 настоящего Кодекса);

по причинам, признанным судом неуважительными, более шести месяцев не проживают совместно с ребенком и уклоняются от его воспитания и содержания.

Законом не предусмотрена доверенность на опеку.

Уточните вопрос. Вы хотите на время с кем-то из родственников оставлять вашего ребенка? Такое действие возможно, если вы вынуждены отлучится надолго (например, чтобы лечь в больницу, уехать в командировку и т.д.) необходимо найти человека, который оформит на себя временную опеку или попечительство над вашим ребенком (даже, если это бабушка) и будет ухаживать за вашим ребенком. Если вы с супругом в разводе, то его согласие на временную опеку не требуется.