Спортивный клуб отказался от видеофиксации тренировок ребенка - есть ли правовые основания?

При таких обстоятельствах - никаких камер в залах не установлено - незаконно.

Желательно затребовать все разрешительные документы на деятельность тренера.

Статья 152.1 ГК РФ: Охрана изображения гражданина

1. Обнародование и дальнейшее использование изображения гражданина (в том числе его фотографии, а также видеозаписи или произведения изобразительного искусства, в которых он изображен) допускаются только с согласия этого гражданина. После смерти гражданина его изображение может использоваться только с согласия детей и пережившего супруга, а при их отсутствии — с согласия родителей.

Такое согласие не требуется в случаях, когда:

1) использование изображения осуществляется в государственных, общественных или иных публичных интересах;

2) изображение гражданина получено при съемке, которая проводится в местах, открытых для свободного посещения, или на публичных мероприятиях (собраниях, съездах, конференциях, концертах, представлениях, спортивных соревнованиях и подобных мероприятиях), за исключением случаев, когда такое изображение является основным объектом использования;

3) гражданин позировал за плату.

2. Изготовленные в целях введения в гражданский оборот, а также находящиеся в обороте экземпляры материальных носителей, содержащих изображение гражданина, полученное или используемое с нарушением пункта 1 настоящей статьи, подлежат на основании судебного решения изъятию из оборота и уничтожению без какой бы то ни было компенсации. Если изображение гражданина, полученное или используемое с нарушением пункта 1 настоящей статьи, распространено в сети «Интернет», гражданин вправе требовать удаления этого изображения, а также пресечения или запрещения дальнейшего его распространения.

Здесь нет определенно запрета на производство вами записи тренировки вашего ребенка.