Как поступить, если ребенок не ходил в школу из-за болезни, а до экзаменов не допустят?

Если ребенок действительно болел - у вас имеются справки. Допустить должны = напишите заявление на имя директор школы о допуске, приложите копии справок.

Не пишите заявление на второй год! Если ребенок сдаст экзамены - это отлично, нет - так нет, ничего страшного пройдет программу в следующем году.

Отчислить из школы не имеют право!

Конечно, может остаться в этой школе!

Продолжайте заниматься. Все вопросы только после того, как официально не допустят к ОГЭ.

В соответствии с ФЗ «Об образовании в РФ» (ст. 59) к государственной итоговой аттестации допускается обучающийся, не имеющий академической задолженности и в полном объеме выполнивший учебный план или индивидуальный учебный план, если иное не установлено порядком проведения государственной итоговой аттестации по соответствующим образовательным программам.

Таким образом, если ученик имеет академические задолженности, то он не допускается к государственной итоговой аттестации на основании указанной статьи.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 30.12.2021) "Об образовании в Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. В силу с 01.03.2022)

Статья 59. Итоговая аттестация

7. Обучающиеся, не прошедшие государственной итоговой аттестации или получившие на государственной итоговой аттестации неудовлетворительные результаты, вправе пройти государственную итоговую аттестацию в сроки, определяемые порядком проведения государственной итоговой аттестации по соответствующим образовательным программам.

Из школы не должны исключить.