Вопрос: могут ли мне не продлить срочный договор до окончания отпуска по уходу за ребенком?

ТК РФ гласит:

Статья 59. Срочный трудовой договор

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Срочный трудовой договор заключается:

на время исполнения обязанностей отсутствующего работника, за которым в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором сохраняется место работы;

на время выполнения временных (до двух месяцев) работ;

для выполнения сезонных работ, когда в силу природных условий работа может производиться только в течение определенного периода (сезона);

с лицами, направляемыми на работу за границу;

для проведения работ, выходящих за рамки обычной деятельности работодателя (реконструкция, монтажные, пусконаладочные и другие работы), а также работ, связанных с заведомо временным (до одного года) расширением производства или объема оказываемых услуг;

с лицами, поступающими на работу в организации, созданные на заведомо определенный период или для выполнения заведомо определенной работы;

с лицами, принимаемыми для выполнения заведомо определенной работы в случаях, когда ее завершение не может быть определено конкретной датой;

для выполнения работ, непосредственно связанных со стажировкой и с профессиональным обучением работника;

в случаях избрания на определенный срок в состав выборного органа или на выборную должность на оплачиваемую работу, а также поступления на работу, связанную с непосредственным обеспечением деятельности членов избираемых органов или должностных лиц в органах государственной власти и органах местного самоуправления, в политических партиях и других общественных объединениях;

с лицами, направленными органами службы занятости населения на работы временного характера и общественные работы;

с гражданами, направленными для прохождения альтернативной гражданской службы;

в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом или иными федеральными законами.

По соглашению сторон срочный трудовой договор может заключаться:

с лицами, поступающими на работу к работодателям - субъектам малого предпринимательства (включая индивидуальных предпринимателей), численность работников которых не превышает 35 человек (в сфере розничной торговли и бытового обслуживания - 20 человек);

с поступающими на работу пенсионерами по возрасту, а также с лицами, которым по состоянию здоровья в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, разрешена работа исключительно временного характера;

с лицами, поступающими на работу в организации, расположенные в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, если это связано с переездом к месту работы;

для проведения неотложных работ по предотвращению катастроф, аварий, несчастных случаев, эпидемий, эпизоотий, а также для устранения последствий указанных и других чрезвычайных обстоятельств;

с лицами, избранными по конкурсу на замещение соответствующей должности, проведенному в порядке, установленном трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права;

с творческими работниками средств массовой информации, организаций кинематографии, театров, театральных и концертных организаций, цирков и иными лицами, участвующими в создании и (или) исполнении (экспонировании) произведений, в соответствии с перечнями работ, профессий, должностей этих работников, утверждаемыми Правительством Российской Федерации с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений;

(в ред. Федерального закона от 28.02.2008 N 13-ФЗ)

с руководителями, заместителями руководителей и главными бухгалтерами организаций, независимо от их организационно-правовых форм и форм собственности;

с лицами, обучающимися по очной форме обучения;

с членами экипажей морских судов, судов внутреннего плавания и судов смешанного (река - море) плавания, зарегистрированных в Российском международном реестре судов;

(абзац введен Федеральным законом от 07.11.2011 N 305-ФЗ)

с лицами, поступающими на работу по совместительству;

в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом или иными федеральными законами.

Я не вижу оснований для продления с Вами срочного ТД, в том числе и в первый раз.