Могу ли я снимать жилье за счет отца моего ребенка

Можете, но если он не платит алименты, то сьем подавно платить не будут.

Обращайтесь в суд с иском.

См.

СК РФ Статья 86. Участие родителей в дополнительных расходах на детей

Как взыскать дополнительные расходы на детей

1. При отсутствии соглашения и при наличии исключительных обстоятельств (тяжелая болезнь, увечье несовершеннолетних детей или нетрудоспособных совершеннолетних нуждающихся детей, необходимость оплаты постороннего ухода за ними, отсутствие пригодного для постоянного проживания жилого помещения и другие обстоятельства) каждый из родителей может быть привлечен судом к участию в несении дополнительных расходов, вызванных этими обстоятельствами.

Как получить жилищные алименты на ребенка

(в ред. Федерального закона от 06.02.2020 N 10-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Порядок участия родителей в несении дополнительных расходов и размер этих расходов определяются судом исходя из материального и семейного положения родителей и детей и других заслуживающих внимания интересов сторон в твердой денежной сумме, подлежащей уплате ежемесячно.

2. Суд вправе обязать родителей принять участие как в фактически понесенных дополнительных расходах, так и в дополнительных расходах, которые необходимо произвести в будущем.

Не заставите, вы сами снимаете жильё и получаете выплаты на ребёнка, больше ничего не взыщите. К дополнительным выплатам съём жилья не относится.

Заставить можете.

Но только через суд. Обращайтесь с иском.

Иного пути "заставить" нет.

А почему вы не проживаете по месту своей регистрации?

Можно обратиться в суд, но скорее всего будет отказ.

При таких условиях оплачивать съем он и не должен.