Какие претензии могут возникнуть на аэропорту при отсутствии регистрации на пребывание в России? Влияет ли это на будущие въезды в страну?

Конечно будут вопросы. Скорее всего привлекут, будет штраф и может быть наложен запрет на въезд в РФ.

Да,возможно и это зависит от вашего гражданства

Постановление Правительства РФ от 15.01.2007 N 9 (ред. от 07.06.2023) "О порядке осуществления миграционного учета иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации"

20. Иностранные граждане, временно пребывающие в Российской Федерации, а равно постоянно или временно проживающие в Российской Федерации, при нахождении в месте пребывания, не являющемся их местом жительства, подлежат постановке на учет по месту пребывания, за исключением случаев, предусмотренных частью 6 статьи 20 Федерального закона.

Уведомление о прибытии иностранного гражданина в место пребывания представляется в территориальный орган Министерства внутренних дел Российской Федерации в течение 7 рабочих дней со дня его прибытия в место пребывания либо с даты получения временного удостоверения личности лица без гражданства в Российской Федерации, за исключением случаев, предусмотренных пунктами 1 - 4 части 3, частями 4.1, 4.2 статьи 20 Федерального закона.

Если вы нарушили - вас привлекут к административной ответственности по ст.18.8 КоАП РФ.Иногда это может повлечь запрет на въезд в РФ минимум на 3 года (при определенных обстоятельствах)