Дорожки не были почищены от снега и льда, не было вывешено табличек, что скользко.

Уважаемый Владислав! Поскольку событие (причинение вреда) имело место в США, в силу пункта 1 ст.1219 Гражданского кодекса РФ к обязательствам, возникающим вследствии причинения вреда, применяется право страны, где имело место действие ли иное обстоятельство, послужившее основанием для требования о возмещении вреда. То есть, в данном случае применимым правом должно быть право соответствующего штата США.

Формально в силу пункта 4 части 3 ст.402 Гражданского процессуального кодекса РФ Вы имеете право обратиться в российский суд, поскольку истец имеет место жительства в Российской Федерации. Но думаю, что Вы представлете себе уровень судей наших районных судов, и представляете: насколько судья будет "вдохновлен" перспективой рассматривать дело с участием иностранного ответчика, да еще разыскивать нормы права какого-то штата США. Кроме того, сразу скажу, что между Россией и США нет соглашения о правовой помощи по гражданским делам, и потому решение российского суда для США не более чем бумажка. Решение российского суда не будет принудительно исполняться в США. Вам нужно будет все равно обращаться в суд соответствующего штата с просьбой об исполнении решения . А поскольку США - децентрализованная федерация, в каждом штате свои правила ( в судах одних штатов достаточно доказать, что ответчик был извещен о процессе и имел возможность представит объяснения и обжаловать решение, суды других штатов (и таких большинство) требуют повторного процесса уже в их суде).

Поэтому, если Вы так уж хотите иска, Вам целесообразнее обратиться в соответствующий суд штата (но это, как Вы понимаете, вопрос не к российским юристам)