Можно ли подать заявление в апелляционную инстанцию о пропуске истцом сроков исковой давности, если ответчик этого не делал в суде первой инстанции?

заявить можете, но суд откажет

С учетом правил ст. 327 ГПК РФ такое заявление возможно.

Статья 327.1. Пределы рассмотрения дела в суде апелляционной инстанции

1. Суд апелляционной инстанции рассматривает дело в пределах доводов, изложенных в апелляционных жалобе, представлении и возражениях относительно жалобы, представления.

Суд апелляционной инстанции оценивает имеющиеся в деле, а также дополнительно представленные доказательства. Дополнительные доказательства принимаются судом апелляционной инстанции, если лицо, участвующее в деле, обосновало невозможность их представления в суд первой инстанции по причинам, не зависящим от него, и суд признает эти причины уважительными. О принятии новых доказательств суд апелляционной инстанции выносит определение.

2. В случае, если в порядке апелляционного производства обжалуется только часть решения, суд апелляционной инстанции проверяет законность и обоснованность решения только в обжалуемой части.

Суд апелляционной инстанции в интересах законности вправе проверить решение суда первой инстанции в полном объеме.

3. Вне зависимости от доводов, содержащихся в апелляционных жалобе, представлении, суд апелляционной инстанции проверяет, не нарушены ли судом первой инстанции нормы процессуального права, являющиеся в соответствии с частью четвертой статьи 330 настоящего Кодекса основаниями для отмены решения суда первой инстанции.

4. Новые требования, которые не были предметом рассмотрения в суде первой инстанции, не принимаются и не рассматриваются судом апелляционной инстанции.