И если "да", то почему работники ГАИ не берут такие штрафы на месте?

Просто понятия "взыскан" и "уплачен" - не тождественны. В рамках законодательства об административных правонарушениях под понятием "взыскан" подразумевается - осуществляется наложение взыскания без составления протокола, а сразу с выдачей упомянутой в ст. 32.3. квитанции-постановления. А уплачивается, соответственно, в порядке, предусмотренном ст. 32.2.

КоАП РФ.

"Статья 28.6. Назначение административного наказания без составления протокола

1. В случае, если при совершении административного правонарушения назначается административное наказание в виде предупреждения или административного штрафа в размере, не превышающем одного минимального размера оплаты труда, а при нарушении таможенных правил - в размере, не превышающем десяти минимальных размеров оплаты труда, протокол об административном правонарушении не составляется, а уполномоченным на то должностным лицом на месте совершения административного правонарушения оформляется предупреждение либо налагается и взимается административный штраф. В случае совершения административного правонарушения, предусмотренного главой 12 настоящего Кодекса, постановление о наложении административного штрафа оформляется в порядке, предусмотренном статьей 32.3 настоящего Кодекса, а административный штраф взимается в порядке, предусмотренном статьей 32.2 настоящего Кодекса.

Статья 32.2. Исполнение постановления о наложении административного штрафа

1. Административный штраф должен быть уплачен лицом, привлеченным к административной ответственности, не позднее тридцати дней со дня вступления постановления о наложении административного штрафа в законную силу либо со дня истечения срока отсрочки или срока рассрочки, предусмотренных статьей 31.5 настоящего Кодекса.

2. При отсутствии самостоятельного заработка у несовершеннолетнего административный штраф взыскивается с его родителей или иных законных представителей.

3. Сумма административного штрафа вносится или перечисляется лицом, привлеченным к административной ответственности, в банк или в иную кредитную организацию, за исключением случаев, предусмотренных частью 1 статьи 32.3 настоящего Кодекса.

4. Копию документа, свидетельствующего об уплате административного штрафа, лицо, привлеченное к административной ответственности, направляет судье, в орган, должностному лицу, вынесшим постановление.

5. При отсутствии документа, свидетельствующего об уплате административного штрафа, по истечении тридцати дней со срока, указанного в части 1 настоящей статьи, судья, орган, должностное лицо, вынесшие постановление, направляют соответствующие материалы судебному приставу-исполнителю для взыскания суммы административного штрафа в порядке, предусмотренном федеральным законодательством. Кроме того, судья, орган, должностное лицо, вынесшие постановление, принимают решение о привлечении лица, не уплатившего административный штраф, к административной ответственности в соответствии с частью 1 статьи 20.25.

Статья 32.3. Исполнение постановления о наложении административного штрафа, взыскиваемого на месте совершения административного правонарушения

1. В случае, если административный штраф взимается на месте совершения физическим лицом административного правонарушения, такому лицу выдается постановление-квитанция установленного образца. В постановлении-квитанции указываются дата ее выдачи, должность, фамилия, инициалы должностного лица, назначившего административное наказание, сведения о лице, привлеченном к административной ответственности, статья настоящего Кодекса либо соответствующего закона субъекта Российской Федерации, предусматривающая административную ответственность за данное правонарушение, время и место совершения административного правонарушения, сумма взыскиваемого административного штрафа.

2. Постановление-квитанция составляется в двух экземплярах и подписывается должностным лицом, назначившим административное наказание, и лицом, привлеченным к административной ответственности.

3. В случае неуплаты физическим лицом административного штрафа на месте совершения административного правонарушения производство по делу об административном правонарушении осуществляется в порядке, предусмотренном настоящим Кодексом".