Может ли командир привлекать меня к выполнению боевых задач, несмотря на мою отсрочку от мобилизации из-за четверых детей?

До момент исключения из списков части - может.

Командир полномочен привлекать вас дальше для выполнения боевых задач.

Решение Призывной комиссии по частичной мобилизации не есть решение суда , к примеру, о признании действий и решений органа военного управления не законными и обязании последнего восстановить нарушенное право мобилизанта.

Если там (в решении ПК, которая посыпав пеплом голову военкома и главы администрации региона, отменила свое неправомерное решение о призыве и предоставила вам отсрочку от ч/ мобилизации) никаким боком не упоминается командир войсковой части, в которой вы проходите военную службу, то каково основание должно быть у командира для увольнения вас с военной службы и исключения из списков личного состава ее же?

В 90-ых у меня такое решение суда было - о неправомерном призыве москвича, обучающегося в ВУЗЕ (пришли с ВК домой и забрали с порога прямо в тапках, а на след. день уже был у меня в полку). Родители выиграли обе инстанции. Но в решениях самых гуманных в мире военных судов (включая Арбатский) совершенно не значилось ничего, что обязывало бы командира уволить такого гражданина. Так и дослужил 2 года у меня писарем.

А теперь попробуйте спроецировать на себя эту ситуацию и самостоятельно ответить на свой же вопрос.