За фиктивную постановку на учет иностранного гражданина или лица без гражданства по месту пребывания)?

Законом не запрещено.

Можете

Статья 322.3 УК РФ относится к категории уголовных преступлений против порядка управления. Тогда как "ограничительной" (для педагогов) статьёй 331 ТК РФ предусмотрена невозможность занятия педагогической деятельностью для лиц, подвергавшихся уголовному преследованию (за исключением лиц, уголовное преследование в отношении которых прекращено по реабилитирующим основаниям) за преступления против жизни и здоровья, свободы, чести и достоинства личности (за исключением незаконной госпитализации в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, и клеветы), половой неприкосновенности и половой свободы личности, против семьи и несовершеннолетних, здоровья населения и общественной нравственности, основ конституционного строя и безопасности государства, мира и безопасности человечества, а также против общественной безопасности. Т.е. преступления против порядка управления в данный перечень (являющийся исчерпывающим и не подлежащий расширительному толкованию) не входят. Поэтому ответ - да, можно. Такие дела.

Да, можете

Работать преподавателем после прекращения уголовного дела по статье 322.3 УК РФ можно, если судимость снята или погашена, а также отсутствуют ограничения на занятие педагогической деятельностью, установленные судом.