Как решить проблему с вывозом ребенка в гражданском браке и подачей на удочерение?

Только если в судебном порядке если лишите родительских прав отца.

Во первых, как это отметила моя коллега, для усыновления надо лишить отцовства биологического отца. А затем усыновить другим человеком Вашу дочь.Но отцовство не так просто можно лишить, а только лишь по этим критериям:

Стаття 164. Підстави позбавлення батьківських прав

1. Мати, батько можуть бути позбавлені судом батьківських

прав, якщо вона, він:

1) не забрали дитину з пологового будинку або з іншого

закладу охорони здоров'я без поважної причини і протягом шести

місяців не виявляли щодо неї батьківського піклування;

2) ухиляються від виконання своїх обов'язків по вихованню

дитини;

3) жорстоко поводяться з дитиною;

4) є хронічними алкоголіками або наркоманами;

5) вдаються до будь-яких видів експлуатації дитини,

примушують її до жебракування та бродяжництва;

6) засуджені за вчинення умисного кримінального

правопорушення щодо дитини.

{ Пункт 6 частини першої статті 164 із змінами, внесеними згідно

із Законом N 245-VII ( 245-18 ) від 16.05.2013 }

2. Мати, батько можуть бути позбавлені батьківських прав з

підстав, встановлених пунктами 2, 4 і 5 частини першої цієї

статті, лише у разі досягнення ними повноліття.

3. Мати, батько можуть бути позбавлені батьківських прав щодо

усіх своїх дітей або когось із них.

4. Якщо суд при розгляді справи про позбавлення батьківських

прав виявить у діях батьків або одного з них ознаки кримінального

правопорушення, він письмово повідомляє про це орган досудового

розслідування, який в порядку, передбаченому Кримінальним

процесуальним кодексом України ( 4651-17 ), розпочинає досудове

розслідування.

{ Частина четверта статті 164 із змінами, внесеними згідно із

Законом N 4652-VI ( 4652-17 ) від 13.04.2012 }

5. Рішення суду про позбавлення батьківських прав після

набрання ним законної сили суд надсилає органу державної

реєстрації актів цивільного стану за місцем реєстрації народження

дитини. ( Статтю 164 доповнено частиною п'ятою згідно із Законом

N 2710-IV ( 2710-15 ) від 23.06.2005 )