Можно ли зарегистрировать брак по справке

Думаю, что нет. Справка не является основным документом, удостоверяющим личность, который необходимо предъявлять при заключении брака.

Статья 2. Виды основных документов, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации и обязанности владельца основного документа в случае его утраты

1. Основными документами, удостоверяющими личность гражданина Российской Федерации являются паспорт (удостоверение личности) гражданина Российской Федерации, удостоверяющий личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации (далее - паспорт)); паспорт гражданина Российской Федерации, удостоверяющий личность гражданина Российской Федерации за пределами Российской Федерации (далее - заграничный паспорт), дипломатический паспорт, служебный паспорт, паспорт моряка (удостоверение личности моряка) (далее - паспорт моряка), удостоверяющие личность гражданина Российской Федерации за пределами Российской Федерации, и удостоверяющие личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации в случаях, предусмотренных настоящим Федеральным законом.

Примечание: Сокращенное наименование "заграничный паспорт" применяется исключительно в рамках данного Федерального закона. Другие сокращенные наименования, установленные в части первой настоящей статьи могут быть использованы и в других нормативных правовых актах, а также при наименовании соответствующих документов, удостоверяющих личность.

2. Гражданин Российской Федерации обязан бережно хранить свои основные документы. В случае их утраты гражданин обязан в кратчайший срок (так быстро, как это возможно с учетом объективных обстоятельств) заявить об утрате основного документа в орган внутренних дел Российской Федерации, либо в случае утраты основного документа за пределами территории Российской Федерации - в дипломатическое представительство или консульское учреждение Российской Федерации.

3. На срок до оформления нового основного документа гражданину выдается:

1) в случае утраты за пределами территории Российской Федерации основного документа, удостоверяющего личность гражданина Российской Федерации за пределами территории Российской Федерации, свидетельство на въезд (возвращение) в Российскую Федерацию в соответствии с порядком, установленным Федеральным законом "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию";

2) в случае утраты или сдачи паспорта, по требованию (заявлению) владельца паспорта выдается временное удостоверение личности гражданина Российской Федерации, форма, порядок оформления и выдачи которого устанавливается Правительством Российской Федерации.