Проблема с разрушающимся забором - как заставить соседей ремонтировать его, чтобы предотвратить посещение скотиной огорода?

Никак. Ваши соседи правильно отвечают, что это их проблема. Только собственнику принадледжит право владеть, пользоваться и распоряжаться своим имуществом (ст. 209 ГК РФ). При этом, согласно ст. 262 ГК РФ если земельный участок не огорожен, либо его собственник иным способом ясно не обозначил, что вход на участок без его разрешения не допускается, любое лицо может пройти через участок, при условии, что это не причиняет ущерба или беспокойства собственнику.

Если же Ваши соседи не огородят свою землю, но установят капканы на нём и в результате этого пострадают Ваши животные, то в этом случае, если конечно Вам удасться зафиксировать факт причинения им увечья именно капканами соседей, то в силу ст. 164 ГК РФ Вы будете иметь право на компенсацию причинённого ущерба и убытков, в т.ч. упущенной выгоды (ст. 15 ГК РФ).

С другой стороны непонятно, если спорный забор разделяет Ваши участки, то почему Вы сами не можете поставить так необходимый Вам забор. Вы можете снести старый забор и установить новый, правда за свой счёт. Мне представляется, что в данном случае, даже несмотря на то, что, как я понял из Вашего вопроса, обязанность по установке этого забора лежит на соседях, Вы можете сами его установить и тем самым, избавить себя от проникновения Ваших животных на соседскую территорию. А в случае, если обязанность по установке спорного забора лежит именно на соседях и это основано на каком-то документе (указания администрации, зарегистрировано их право собственности на забор и т.д.), то сможете и взыскать с соседей компенсации за его установку в размере произведённых расходов (ст. 1064 ГК). Только я думаю, что таких документов нет и это только такой сложившийся порядок, что этот забор соседей. В связи с этим, а также указанными выше нормами права, приходится признать, что в данном случае кому забор более необходим, тот и будет его устанавливать и нести соответствующие расходы.