Какие расходы возникают у несовершеннолетнего наследника в случае проживания и прописки в другом городе, если квартира приватизирована и не была оставлена по завещанию?

Да должен.

статья 154. Структура платы за жилое помещение и коммунальные услуги

[Жилищный кодекс РФ] [Статья 154]

1. Плата за жилое помещение и коммунальные услуги для нанимателя жилого помещения, занимаемого по договору социального найма или договору найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда, включает в себя:

1) плату за пользование жилым помещением (плата за наем);

2) плату за содержание и ремонт жилого помещения, включающую в себя плату за услуги и работы по управлению многоквартирным домом, содержанию и текущему ремонту общего имущества в многоквартирном доме. Капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме проводится за счет собственника жилищного фонда;

3) плату за коммунальные услуги.

2. Плата за жилое помещение и коммунальные услуги для собственника помещения в многоквартирном доме включает в себя:

1) плату за содержание и ремонт жилого помещения, в том числе плату за услуги и работы по управлению многоквартирным домом, содержанию, текущему ремонту общего имущества в многоквартирном доме;

2) взнос на капитальный ремонт;

3) плату за коммунальные услуги.

3. Собственники жилых домов несут расходы на их содержание и ремонт, а также оплачивают коммунальные услуги в соответствии с договорами, заключенными с лицами, осуществляющими соответствующие виды деятельности.

4. Плата за коммунальные услуги включает в себя плату за горячее водоснабжение, холодное водоснабжение, водоотведение, электроснабжение, газоснабжение (в том числе поставки бытового газа в баллонах), отопление (теплоснабжение, в том числе поставки твердого топлива при наличии печного отопления).

Постановление Правительства РФ от 6 мая 2011 г. N 354 "О предоставлении коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов" (с изменениями и дополнениями)

+ Правила предоставления коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов

Изменения, которые вносятся в акты Правительства Российской Федерации по вопросам предоставления коммунальных услуг

Постановление Правительства РФ от 6 мая 2011 г. N 354

"О предоставлении коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов"

Если наследник стал собственником, либо станет (после государственной регистрации), то он несет ответственность как по прежним долгам за квартиру, так и по настоящим. Чтобы уменьшить размер платежей: напишите соответствующее заявление в управляющую компанию о том, что в квартире никто не проживает, в этом случае Вы не будете платить за воду, свет и иные коммунальные услуги, связанные с проживанием. Если хотите вовсе уйти от платежей - откажитесь от наследства.