Существует ли срок давности по неоплаченному штрафу (квитанции на штраф на руках нет, т.к. на группе разбора не была)?

Существует. зависит от того, кто принимал решение о наложении штрафа - если суд, то 3 года, если ГИБДД - 3 месяца. Но это срок предъявления к исполнению в службу судебных приставов. А уж как они будут осуществлять исполнительное производство - вопрос другой.

Федеральный закон от 21 июля 1997 г. N 119-ФЗ

"Об исполнительном производстве"

(с изменениями от 24 декабря 2002 г., 10 января, 8, 23 декабря 2003 г., 5 марта, 29 июня, 22 августа 2004 г., 12 октября, 27 декабря 2005 г., 3 ноября 2006 г., 26 июня 2007 г.)

"Статья 14. Сроки предъявления исполнительных документов к исполнению

1. Исполнительные документы могут быть предъявлены к исполнению в следующие сроки:

1) исполнительные листы, выдаваемые на основании судебных актов судов общей юрисдикции, арбитражных судов (за исключением исполнительных листов, указанных в подпункте 1.1 настоящего пункта), и судебные приказы - в течение трех лет;

1.1) исполнительные листы, выдаваемые на основании судебных актов арбитражных судов, по которым арбитражным судом восстановлен пропущенный срок для предъявления исполнительного листа к исполнению, - в течение трех месяцев;

2) исполнительные листы, выдаваемые судами на основании решений Международного коммерческого арбитража и иных третейских судов, - в течение шести месяцев;

3) оформленные в установленном порядке требования органов, осуществляющих контрольные функции, о взыскании денежных средств с отметкой банка или иной кредитной организации о полном или частичном неисполнении взыскания - в течение шести месяцев;

4) удостоверения комиссии по трудовым спорам - в течение трех месяцев;

5) постановления органов (должностных лиц), уполномоченных рассматривать дела об административных правонарушениях, - в течение трех месяцев".