Сейчас мне говорят, что я должен доработать до конца года (а это 3 месяца).

В соответствии со ст. 80 Трудового кодекса РФ (расторжение трудового договора по инициативе работника) работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее, чем за две недели

По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.

Как видите, требования Вашего работодателя не соответствуют трудовому законодательству.

В соответствии со ст. 234 ГК РФ работодатель обязан возместить работнику не полученный им заработок во всех случаях незаконного лишения его возможности трудиться. Такая обязанность, в частности, наступает, если заработок не получен в результате (в Вашем случае):

задержки работодателем ВЫДАЧИ РАБОТНИКУ ТРУДОВОЙ КНИЖКИ, внесения в трудовую книжку неправильной или не соответствующей законодательству формулировки причины увольнения работника. Если по причине невыдачи трудовой книжки Вас не приняли на другую работу, значит Вы были лишены возможности трудиться. Правда в суде это придется доказывать (например, представить письменный отказ нового работодателя с указанием этой причины), а также представить доказательства размера заработка, который Вы не получили на новом месте работы. Правда, суд - палка о двух концах - можно свои права защитить, а можно приобрести славу несговорчивого работника. А это бывает в отношениях с работодателями (в том числе и новыми) намного хуже, чем несвоевременное увольнение на прежнем месте работы, особенно, с все более распространяющимся желанием работодателя узнать как можно больше о вновь принимаемом работнике, в том числе с получением рекомендаций (характеристик) с прежнего места работы. Вам выбирать, а закон на Вашей стороне. Удачи!