В какой суд должен подавать банк

Банк. в принципе, может вообще не обращаться в суд. Это право Банка, а не обязанность.

Не должен банк ничего такого делать (ст. 421 ГК РФ). Сделает - если захочет

В любой срок. В случае обращения банком с исковым заявлением в суд в срок превышающий три года с момента возникновения задолженности, банку по Вашему заявлению будет отказано в иске по причине пропуска срока исковой давности (ст. 196, 199 ГК РФ) .

Статья 196. Общий срок исковой давности

1. Общий срок исковой давности составляет три года со дня, определяемого в соответствии со статьей 200 настоящего Кодекса.

2. Срок исковой давности не может превышать десять лет со дня нарушения права, для защиты которого этот срок установлен, за исключением случаев, установленных Федеральным "законом" от 6 марта 2006 года N 35-ФЗ "О противодействии терроризму".

Статья 199. Применение исковой давности

1. Требование о защите нарушенного права принимается к рассмотрению судом независимо от истечения срока исковой давности.

2. Исковая давность применяется судом только по заявлению стороны в споре, сделанному до вынесения судом решения.

Истечение срока исковой давности, о применении которой заявлено стороной в споре, является основанием к вынесению судом решения об отказе в иске.

3. Односторонние действия, направленные на осуществление права (зачет, безакцептное списание денежных средств, обращение взыскания на заложенное имущество во внесудебном порядке и т.п.), срок исковой давности для защиты которого истек, не допускаются.