Как сотрудники поста в Белгороде правомерно забрали машину из-за необмена прав в Крыму?

Да. Правы. Вы управляли транспортным средством в отсутствие документов, предусмотренных законодательством РФ.

"Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях" от 30.12.2001 N 195-ФЗ

(ред. от 21.07.2014)

(с изм. и доп., вступ. в силу с 06.08.2014)

Глава 12. АДМИНИСТРАТИВНЫЕ ПРАВОНАРУШЕНИЯ

В ОБЛАСТИ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ

…

Статья 12.3. Управление транспортным средством водителем, не имеющим при себе документов, предусмотренных Правилами дорожного движения

1. Управление транспортным средством водителем, не имеющим при себе документов на право управления им, регистрационных документов на транспортное средство, -

влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере пятисот рублей.

…

Глава 27. ПРИМЕНЕНИЕ МЕР ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВА

ПО ДЕЛАМ ОБ АДМИНИСТРАТИВНЫХ ПРАВОНАРУШЕНИЯХ

…

Статья 27.13. Задержание транспортного средства, запрещение его эксплуатации и использования

1. При нарушениях правил эксплуатации, использования транспортного средства и управления транспортным средством соответствующего вида, предусмотренных частью 1 статьи 11.8.1, статьями 11.9, 11.26, 11.29, частью 1 статьи 12.3, частью 2 статьи 12.5, частями 1 и 2 статьи 12.7, частями 1, 3 и 4 статьи 12.8, частями 4 и 5 статьи 12.16, частями 3 - 4, 6 статьи 12.19, частями 1 - 3 статьи 12.21.1, частью 1 статьи 12.21.2, статьей 12.26, частью 3 статьи 12.27, частью 2 статьи 14.38 настоящего Кодекса, применяются задержание транспортного средства, то есть исключение транспортного средства из процесса перевозки людей и грузов путем перемещения его при помощи другого транспортного средства и помещения в ближайшее специально отведенное охраняемое место (на специализированную стоянку), и хранение на специализированной стоянке до устранения причины задержания. При невозможности по техническим характеристикам транспортного средства его перемещения и помещения на специализированную стоянку в случае совершения административного правонарушения, предусмотренного частью 1, 2 или 3 статьи 12.21.1 или частью 1 статьи 12.21.2 настоящего Кодекса, задержание осуществляется путем прекращения движения при помощи блокирующих устройств. В случае, если транспортное средство, в отношении которого принято решение о задержании, будет создавать препятствия для движения других транспортных средств или пешеходов, оно до начала задержания может быть перемещено путем управления транспортным средством его водителем либо лицами, указанными в части 3 настоящей статьи, в ближайшее место, где данное транспортное средство таких препятствий создавать не будет.

…

Здравствуйте, Богдан!

Подавайте в прокуратуру по ст.10 ФЗ о прокуратуре так как лишение имущества, только по решению суда. Буду вопросы, пишите.