Как доказать моральный вред в суде по потере кормильца, причиненный мне и моему ребенку?

Только путем предъявления доказательств. Собирайте все, что может так или иначе повлиять на исход дела. А лучше - наймите адвоката.

Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.

При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинен вред.

Статья 1101. Способ и размер компенсации морального вреда

[Гражданский кодекс РФ] [Глава 59] [Статья 1101]

1. Компенсация морального вреда осуществляется в денежной форме.

2. Размер компенсации морального вреда определяется судом в зависимости от характера причиненных потерпевшему физических и нравственных страданий, а также степени вины причинителя вреда в случаях, когда вина является основанием возмещения вреда. При определении размера компенсации вреда должны учитываться требования разумности и справедливости.

Характер физических и нравственных страданий оценивается судом с учетом фактических обстоятельств, при которых был причинен моральный вред, и индивидуальных особенностей потерпевшего.

Необходимо собрать как можно больше доказательств и установить причинно-следственную связь