Каковы права и возможности приставов описать имущество при наличии долгов прописанного члена семьи в снятой квартире?

нет, не имеют права - у вас есть доказательство - договор найма

Нет конечно. Это будет незаконно. В соответствии с частями 4 и 7 статьи 69 Федерального закона N 229-ФЗ при отсутствии или недостаточности у должника денежных средств, взыскание обращается на иное имущество, принадлежащее ему на праве собственности, при этом должник по требованию судебного пристава обязан предоставить сведения о принадлежащих ему правах на имущество.

Согласно частям 1 и 4 статьи 80 Федерального закона N 229-ФЗ судебный пристав в целях обеспечения исполнения исполнительного документа, содержащего требования об имущественных взысканиях, вправе, в том числе наложить арест на имущество должника.

В соответствии с частью 5 статьи 80 Федерального закона N 229-ФЗ "Об исполнительном производстве" арест имущества должника производится судебным приставом-исполнителем с участием понятых с составлением акта о наложении ареста (описи имущества).

Из указанных норм права следует, что действия по обращению взыскания на имущество должника могут быть произведены лишь при наличии у судебного пристава достоверных данных о принадлежности такого имущества именно должнику и только в том случае, когда судебный пристав достоверно информирован о принадлежности имущества должнику.

В соответствии со статьей 119 Федерального закона от 02.10.2007 N 229-ФЗ "Об исполнительном производстве" в случае возникновения спора, связанного с принадлежностью имущества, на которое обращается взыскание, заинтересованные лица вправе обратиться в суд с иском об освобождении имущества от наложения ареста или исключении его из описи.

Заинтересованные лица вправе обратиться в суд с иском о возмещении убытков, причиненных им в результате совершения исполнительных действий и (или) применения мер принудительного исполнения.