Водитель без прав лишен свободы - невозможность оплатить штраф и просьба смягчить наказание

Нет не можете.

Статья 31.5. КоАП РФ. Отсрочка и рассрочка исполнения постановления о назначении административного наказания

2. С учетом материального положения лица, привлеченного к административной ответственности, уплата административного штрафа может быть рассрочена судьей, органом, должностным лицом, вынесшими постановление, на срок до трех месяцев.

Вы можете просить об отсрочке или рассрочке исполнения уплаты штрафа

Статья 31.5. Отсрочка и рассрочка исполнения постановления о назначении административного наказания

1. При наличии обстоятельств, вследствие которых исполнение постановления о назначении административного наказания в виде административного ареста, лишения специального права или в виде административного штрафа невозможно в установленные сроки, судья, орган, должностное лицо, вынесшие постановление, могут отсрочить исполнение постановления на срок до одного месяца.

2. С учетом материального положения лица, привлеченного к административной ответственности, уплата административного штрафа может быть рассрочена судьей, органом, должностным лицом, вынесшими постановление, на срок до трех месяцев.

Оспорить постановление можно было попробовать

На основании того, что у вас месячный ребенок, есть возможность через ходатайство изменить решение суда.

Данное правонарушение может нести наказание, на лишение свободы до 15 суток, может можно подать апелляцию или ходатайство, и попросить изменить вид наказания.