Может ли руководитель бюджетного учреждения требовать работу в зимние дни отдыха, установленные Правительством РФ?

Только с письменного согласия самих работников.

Вот выдержка:

Привлекать работника к работе в выходные и нерабочие праздничные дни можно без его согласия в следующих случаях (ч. 3 ст. 113 ТК РФ):

- для предотвращения катастрофы, производственной аварии либо устранения последствий катастрофы, производственной аварии или стихийного бедствия;

- для предотвращения несчастных случаев, уничтожения или порчи имущества работодателя, государственного или муниципального имущества;

- для выполнения работ, необходимость которых обусловлена введением чрезвычайного или военного положения, а также неотложных работ в условиях чрезвычайных обстоятельств, т.е. при бедствии или угрозе бедствия (пожары, наводнения, голод, землетрясения, эпидемии или эпизоотии), и в иных случаях, ставящих под угрозу жизнь или нормальные жизненные условия всего населения или его части.

Однако даже при наступлении указанных случаев необходимо получить от отдельных категорий работников письменное согласие на привлечение к такой работе и ознакомить под подпись с их правом отказаться от нее. К этим работникам относятся (ч. 7 ст. 113, ч. 2, 3 ст. 259, ст. 264 ТК РФ, абз. 2 п. 14 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 28.01.2014 N 1, разд. 7 Рекомендаций Роструда, утвержденных Протоколом N 1 от 02.06.2014):

- инвалиды;

- женщины, имеющие детей в возрасте до трех лет;

- матери и отцы, воспитывающие без супруга (супруги) детей в возрасте до пяти лет;

- опекуны детей в возрасте до пяти лет;

- другие лица, воспитывающие детей в возрасте до пяти лет без матери;

- работники, имеющие детей-инвалидов;

- работники, осуществляющие уход за больными членами их семей в соответствии с медицинским заключением;

- попечители несовершеннолетних в установленных законом случаях. Например, указанная гарантия распространяется на попечителей детей-инвалидов (ч. 3 ст. 259, ст. 264 ТК РФ).