Изменения в должности директора детской школы искусств - переход на должность преподавателя и соответствующие формулировки в приказах и трудовой книжке

Так и пишите перевод на основании ст 72.1 ТК РФ

Статья 72.1. Перевод на другую работу. Перемещение

Перевод на другую работу - постоянное или временное изменение трудовой функции работника и (или) структурного подразделения, в котором работает работник (если структурное подразделение было указано в трудовом договоре), при продолжении работы у того же работодателя, а также перевод на работу в другую местность вместе с работодателем. Перевод на другую работу допускается только с письменного согласия работника, за исключением случаев, предусмотренных частями второй и третьей статьи 72.2 настоящего Кодекса.

По письменной просьбе работника или с его письменного согласия может быть осуществлен перевод работника на постоянную работу к другому работодателю. При этом трудовой договор по прежнему месту работы прекращается (пункт 5 части первой статьи 77 настоящего Кодекса).

Не требует согласия работника перемещение его у того же работодателя на другое рабочее место, в другое структурное подразделение, расположенное в той же местности, поручение ему работы на другом механизме или агрегате, если это не влечет за собой изменения определенных сторонами условий трудового договора.

Запрещается переводить и перемещать работника на работу, противопоказанную ему по состоянию здоровья.

Дело в том, что работодатель меняется (хотя это каверзный вопрос), договор с директором заключался отделом культуры, а у преподавателя работодатель - директор, возможен ли здесь перевод?

Но в данном случае работа преподавателя уже выполнялась по совместительству, и как отразить то, что работа преподавателя теперь основная?