Можно ли подать на БЖу иск за оскорбление и защиту чести, достоинства и деловой репутации, если она внушает ребёнку ложные утверждения о моем отцовстве и оскорбляет меня?

Можете подать, но доказывать вам будет все это сложно...

Вадим можно подать иск на бывшую супругу о защите чести и достоинства.

Нужно будет доказать факт распространения сведений, факт их несоответствия действительности и порочащий характер.

Возможно их признать не соответствующими действительности и потребовать компенсации морального вреда.

Так же смотрите ссылку ниже.

Подавайте иск в соответствии со ст150-152 ГК РФ

Статья 5.61. Оскорбление

1. Оскорбление, то есть унижение чести и достоинства другого лица, выраженное в неприличной форме, -

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи до трех тысяч рублей; на должностных лиц - от десяти тысяч до тридцати тысяч рублей; на юридических лиц - от пятидесяти тысяч до ста тысяч рублей.

2. Оскорбление, содержащееся в публичном выступлении, публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации, -

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от трех тысяч до пяти тысяч рублей; на должностных лиц - от тридцати тысяч до пятидесяти тысяч рублей; на юридических лиц - от ста тысяч до пятисот тысяч рублей.

3. Непринятие мер к недопущению оскорбления в публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации -

влечет наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от десяти тысяч до тридцати тысяч рублей; на юридических лиц - от тридцати тысяч до пятидесяти тысяч рублей, для увеличения шансов на успех лучше решать этот вопрос с помощью специалиста.