Как поступить на контрактную службу, если я не проживаю в своём городе и не имею прописки?

Да,с можете поступить- обратитеьс в военкомат

Приказ МО РФ № 350:

3. Командир (начальник) воинской части*(2), которому предоставлено право заключать первый или новый контракт с кандидатом (пункт 8 статьи 8, пункт 6 статьи 9 Положения) и назначать на конкретную воинскую должность, после проведения соответствующих мероприятий по отбору кандидата заключает с ним контракт, издает приказ об объявлении вступления в силу контракта и о назначении военнослужащего на воинскую должность.

В случае, если назначение на воинскую должность производится вышестоящим должностным лицом, то командир (начальник) воинской части после проведения мероприятий по отбору кандидата готовит и представляет по команде представление (пункт 9 настоящей Инструкции) с ходатайством о заключении с кандидатом контракта и назначении военнослужащего на воинскую должность. К представлению прилагается личное дело кандидата и другие необходимые документы, которые после принятия решения соответствующим должностным лицом пересылаются в воинскую часть, проводившую мероприятия по отбору кандидата. В случае принятия положительного решения соответствующее должностное лицо заключает с кандидатом контракт, издает приказ об объявлении вступления в силу контракта и о назначении военнослужащего на данную воинскую должность. До принятия решения соответствующим должностным лицом о назначении на воинскую должность, отобранный кандидат зачисляется в списки воинской части на основании предписания, выданного военным комиссариатом, и допускается к исполнению обязанности по воинской должности, на которую он представлен к назначению, приказом по строевой части.

При принятии соответствующим должностным лицом решения об отказе кандидату в заключении контракта командир (начальник) действует в соответствии с пунктом 11 статьи 8 Положения.

4. В послужном списке личного дела кандидата производится запись о заключении контракта с указанием календарной даты вступления его в силу, срока контракта, даты и номера приказа о заключении контракта.

Выписка из приказа о поступлении кандидата на военную службу по контракту высылается в военный комиссариат по месту его воинского учета командиром (начальником) воинской части, в которую военнослужащий назначен на воинскую должность.

5. В случае присвоения военнослужащему, у которого контракт был заключен до наступления предельного возраста пребывания на военной службе, очередного воинского звания, в соответствии с которым увеличивается его предельный возраст пребывания на военной службе, новый контракт подписывается должностным лицом в день, следующий за днем окончания срока предыдущего контракта.

6. Для заключения нового контракта военнослужащий, у которого заканчивается срок действующего контракта, подает по команде рапорт должностному лицу, которое вправе заключить с ним новый контракт, до окончания срока предыдущ