Как мне вернуть право на проживание в квартире, где я прописан, у которой собственником является мой отец?

Можете в судебном порядке вселиться и вселить своих несовершеннолетних детей. Если квартира, как Вы говорите, "кооперативная", то это может означать только то, что Ваши родители стали собственниками данного жилья благодаря участию в ЖСК. Никакой приватизации такие квартиры не подлежат, т.к. приватизация - это передача государственного (муниципального) жилья в собственности, а данная квартира никогда государственной не была.

Приватизация здесь не при чем. Собственником является отец, т.к. он член кооператива и выплатил пай. Вы не имеете права на квартиру. Вы можете предъявить иск о вселении, но отец может предъявить встречный иск о вашем выселении. Я бы посоветовала бы платить коммунальные платежи и ничего не делать.

В судебном порядке можете подать иск о вселении и нечинении препятствий в проживании.

Присоединяюсь к мнению коллег, но рекомендовал бы зарегистрировать в квартире детей и обратиться в суд с иском о вселении и нечинении препятствий в пользовании квартирой. Поскольку Ваш выезд носит вынужденный характер и у Вас с детьми нет иного жилья - есть хорошие шансы на удовлетворение иска. После вынесения судом решения о вселении снять с рег. учета Вас сможет только новый собственник в случае, если родители продадут квартиру.