Но поскольку я буду продолжать работать, обязан ли мне работодатель платить зарплату?

Да, конечно, это обязанность работодателя - оплачивать труд. Только следует иметь в виду, что условия трудового договора должны быть изменены - должно быть указано, что труд надомный, в противном случае не даже фактическое выполнение трудовых обязанностей вне постоянного рабочего места не будет являться надомным трудом, соответственно, пропадет и основание для выплаты пособия.

Федеральный закон от 19 мая 1995 г. N 81-ФЗ

"О государственных пособиях гражданам, имеющим детей"

(с изменениями от 24 ноября 1995 г., 18 июня, 24 ноября, 30 декабря 1996 г., 21, 29 июля 1998 г., 17 июля 1999 г., 10 июля, 7 августа 2000 г., 30 мая, 28 декабря 2001 г., 25 июля 2002 г., 22 августа, 29 декабря 2004 г., 22 декабря 2005 г., 5 декабря 2006 г., 25 октября 2007 г., 1 марта, 14, 23 июля, 25 декабря 2008 г.)

"Статья 13. Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком

Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком имеют:

матери либо отцы, другие родственники, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком, подлежащие обязательному социальному страхованию и находящиеся в отпуске по уходу за ребенком;

матери, проходящие военную службу по контракту, матери либо отцы, проходящие службу в качестве лиц рядового и начальствующего состава органов внутренних дел, Государственной противопожарной службы, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, органов по контролю за оборотом наркотических средств и психотропных веществ, таможенных органов и находящиеся в отпуске по уходу за ребенком;

матери либо отцы, другие родственники, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком, из числа гражданского персонала воинских формирований Российской Федерации, находящихся на территориях иностранных государств в случаях, предусмотренных международными договорами Российской Федерации, находящиеся в отпуске по уходу за ребенком;

матери либо отцы, другие родственники, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком, уволенные в период отпуска по уходу за ребенком в связи с ликвидацией организаций, прекращением физическими лицами деятельности в качестве индивидуальных предпринимателей, прекращением полномочий частными нотариусами и прекращением статуса адвоката, а также в связи с прекращением деятельности иными физическими лицами, чья профессиональная деятельность в соответствии с федеральными законами подлежит государственной регистрации и (или) лицензированию, в том числе уволенные из организаций или воинских частей, находящихся за пределами Российской Федерации, уволенные в связи с истечением срока их трудового договора в воинских частях, находящихся за пределами Российской Федерации, а также матери, уволенные в период отпуска по уходу за ребенком в связи с переводом мужа из таких частей в Российскую Федерацию;

матери, уволенные в период беременности, отпуска по беременности и родам в связи с ликвидацией организаций, прекращением физическими лицами деятельности в качестве индивидуальных предпринимателей, прекращением полномочий частными нотариусами и прекращением статуса адвоката, а также в связи с прекращением деятельности иными физическими лицами, чья профессиональная деятельность в соответствии с федеральными законами подлежит государственной регистрации и (или) лицензированию, в том числе уволенные из организаций или воинских частей, находящихся за пределами Российской Федерации, уволенные в связи с истечением срока их трудового договора в воинских частях, находящихся за пределами Российской Федерации, или в связи с переводом мужа из таких частей в Российскую Федерацию;

матери либо отцы, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком и не подлежащие обязательному социальному страхованию (в том числе обучающиеся по очной форме обучения в образовательных учреждениях начального профессионального, среднего профессионального и высшего профессионального образования и учреждениях послевузовского профессионального образования и находящиеся в отпуске по уходу за ребенком);

другие родственники, фактически осуществляющие уход за ребенком и не подлежащие обязательному социальному страхованию, в случае, если мать и (или) отец умерли, объявлены умершими, лишены родительских прав, ограничены в родительских правах, признаны безвестно отсутствующими, недееспособными (ограниченно дееспособными), по состоянию здоровья не могут лично воспитывать и содержать ребенка, отбывают наказание в учреждениях, исполняющих наказание в виде лишения свободы, находятся в местах содержания под стражей подозреваемых и обвиняемых в совершении преступлений, уклоняются от воспитания детей или от защиты их прав и интересов или отказались взять своего ребенка из воспитательных, лечебных учреждений, учреждений социальной защиты населения и других аналогичных учреждений.

Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком сохраняется в случае, если лицо, находящееся в отпуске по уходу за ребенком, работает на условиях неполного рабочего времени или на дому, а также в случае продолжения обучения".