Ведь квартиру в недостроенном доме купить можно.

Последовательно. Продать квартиру может. Сняться с регистрационного учета (выписаться) может, только процедура снятия с учета, согласно Постановлению Правительства РФ от 17 июля 1995 г. N 713, предполагает постановку на учет по новому месту жительства, буквально: «31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:

а) изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства. При этом орган регистрационного учета, осуществляющий регистрацию граждан по новому месту жительства, обязан в 3-дневный срок со дня регистрации направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по последнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета», то есть снятие с учета происходит лишь при принятии на учет по новому месту жительства.

Купить квартиру в недостроенном доме нельзя, можно заключить инвестиционный договор или договор простого товарищества, после реализации которого, по завершении строительства и принятии дома в эксплуатацию, включая государственную регистрацию прав на недвижимое имущество, можно получить квартиру в собственность. До завершения строительства, включая все вышесказанное, никаких действий в отношении купленной квартиры никто не сможет принять, а тем более гос. органы, осуществляющие гос. регистрацию граждан. То есть прописаться в ней нельзя.

Так что Вы сможете только прописаться в уже имеющееся жилье, а потом, после получения свидетельства о собственности на приобретенную квартиру (полученную в результате исполнения договора, инвестиционного или простого товарищества), прописаться в ней.