И хотелось бы, чтобы ребенок получил московское образование.

К сожалению, принудить отца зарегистрировать у себя ребенка, нельзя: это его право. В судебном порядке доказать, что у ребенка возникло право пользования отцовской квартирой, также представляется сомнительным, так как Вы сами указали, что фактически ребенок в этой квартире не проживает. Странно, что ребенок школьного возраста до сих пор живет без регистрации. Но если отец не напишет собственноручно заявление о регистрации к нему ребенка, Вашего ребенка зарегистрировать в отцовской квартире будет невозможно.

Согласно ст.65 Семейного кодекса РФ место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей. Поэтому Вам потребуется заручиться согласием отца на регитсрацию ребенка в квартиру, в особенности, если квартира находится в его частной собственности (вселение квартиру возможно только с согласия собственника - ст.288 Гражданского кодекса РФ). Если квартира неприватизирована, то можно попробовать зарегистрировать в ней ребенка не получая согласия отца. Согласно ст.679 согласия наймодателя, нанимателя и граждан, постоянно с ним проживающих, в жилое помещение могут быть вселены другие граждане в качестве постоянно проживающих с нанимателем. При вселении несовершеннолетних детей такого согласия не требуется. Однако сделать это можно только по инициативе бабушки или дедушки, поскольку Вы лично никакого отношения к этой квартире не имеете, насколько я понимаю. Если Вы жили ранее с ребенком в квартире отца можно обратиться в суд с иском о признании права пользования и проживания в квартире согласно ст.53 Жилищного кодекса РСФСР. В общем, Вам слеудет уточнить статус квартиры: форму собственности, лиц, проживающих в квартире и т.д. С уважением,