Может ли бывший муж отсудить у матери ребёнка?

Только если доказано документально, что мать не занимается воспитанием, алкоголичка или наркоманка, и пр.

Согласно ст. 65 СК РФ, место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей. При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд принимает во внимание возраст ребенка, его привязанность к каждому из родителей, братьям, сестрам и другим членам семьи, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (с учетом рода деятельности и режима работы родителей, их материального и семейного положения, имея в виду, что само по себе преимущество в материально-бытовом положении одного из родителей не является безусловным основанием для удовлетворения требований этого родителя), а также другие обстоятельства, характеризующие обстановку, которая сложилась в месте проживания каждого из родителей.

Может при наличии оснований. Не совсем вам верно указали, что при алкоголизме или наркомании. Это старая практика. Уже давно можно оставить с отцами и при наличии обычной нормальной матери. Все зависит от конкретной ситуации и возраста ребенка, кто больше им занимается и тп