Выезжать на юг уже ровно через неделю, т.е 2 недели мне никак не успеть отработать.

Нет, без соглашения с работодателем - нельзя.

Основание:

Трудовой кодекс. Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе

работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив

об этом работодателя в письменной форме за две недели.

По соглашению между работником и работодателем трудовой

договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения

об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его

инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью

продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение,

выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного

нарушения работодателем законов и иных нормативных правовых актов,

содержащих нормы трудового права, условий коллективного договора,

соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть

трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Согласно ст.127 Трудового кодекса РФ при увольнении по письменному заявлению работника неиспользованные отпуска могут быть предоставлены ему с последующим увольнением (за исключением случаев увольнения за виновные действия). При этом днем увольнения считается последний день отпуска. Так что пишите заявление на отпуск - Вам его обязаны предоставить (если только Вы его уже не использовали). С уважением,