Если не соглашусь, сказали будет хуже и ждут меня на работе в Москве на полный рабочий день

1. Можете. Трудовой договор и запись в трудовой книжке должны быть оформлены в день приема на работу.

2.Выплаты можете доказать только документально. При сокращении работодатель обязан уведомить Вас надлежащим образом за два меяца до сокращения и предложить Вам все имеющиеся вакантные должности.

Судя по тому, что от Вас требуют увольнения "по собственному", Вы работаете официально. Увольнение по собственному желанию или по соглашению сторон предусматривает подписание работником соответствующих документов (заявления об увольнении, соглашения сторон). При подписании соглашения сторон можно выдвигать или соглашаться на любые условия. Если Вы не желаете увольняться (не устраивают условия), главное не подписывать этих документов, несмотря ни на какое давление; продолжать выходить на работу, соблюдать трудовую дисциплину. В случае незаконного увольнения «по статье» в таком случае можно будет, подав в суд в месячный срок после увольнения, восстановиться и взыскать с работодателя компенсацию за вынужденный прогул. При надлежащем юридическом сопровождении в суде такие дела считаются выигрышными. Наоборот, в случае подписания заявления об увольнении или соглашения сторон доказать что-либо потом в суде будет крайне затруднительно.